比是数学中的基础概念之一，广泛应用于日常生活和各个领域的科学研究中。比例的性质是我们研究比的基本工具，它们包括乘法性、分配律、取反、倒数、倒数的倒数、逆比、平均数、交叉相乘等公式，下面将逐一讲解。
1.乘法性
所谓乘法性，就是指两个比相乘的结果等于这两个比的每一个同类项分别相乘得到的新的比。具体的表达式为：
A:B::C:D，则A·C:B·D = AC:BD
2.分配律
分配律是我们非常常见的运算规则之一，那么对于比例来说，分配律式子如下：
A:B::C:D，则 A ± B : B = C ± D : D = AC / BD
3.取反
取反是指将一个已知的比反过来求值，具体的表达式为：
A:B = B:A
4.倒数
倒数是指将一个比每个项的倒数求出来，具体的表达式为：
A:B = 1 / A : 1 / B = B / A
5.倒数的倒数
倒数的倒数是指将一个比的每个项的倒数再次取倒数，具体式子为：
1/ (1/A : 1/B) = AB / (A + B)
6.逆比
逆比是指将一个比的分子和分母交换位置所得到的新比，具体的表达式如下：
A : B → B : A
7.平均数
平均数是指求出若干个数的和除以其数量所得到的数值，因此对于比例来说，它的平均数可以通过下面的公式进行计算：
(A + B + C + D) / 4 = (A + D) / 2 = (B + C) / 2
8.交叉相乘
交叉相乘是指把A : B和C : D两个比例相乘，其结果等于它们的交叉项相乘得到的分数。具体的表达式如下：
A : B × C : D = AC : BD
9.变比
变比是指在同一个比中，根据数列的规律变换而得到的新比例。具体的表达式如下：
A : B :: C : D → A ± k : B ± k :: C ± k : D ± k
总之，比例的性质是研究比的基本工具，掌握这些公式可以方便我们运用比例进行数学计算，更好地解决生活中遇到的各种问题。